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3.6 關(guān)節(jié)空間和工作空間的混合軌跡規(guī)劃

為了更好地對關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃和工作空間軌跡規(guī)劃擬合曲線進行分析，對兩種軌跡規(guī)劃方法得到的Delta機器人工作空間整體擬合曲線進行對比如圖3-19所示，紅色實線和綠色虛線分別表示工作空間和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的工作空間擬合曲線，圖（a) 為工作空間內(nèi)的整體位移曲線圖，圖（b)為末端執(zhí)行器水平轉(zhuǎn)運階段位移曲線放大圖，由圖可知，利用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法得到的擬合曲線在水平轉(zhuǎn)運階段y軸方向的抖動大約為9mm，抖動的主要原因有兩方面：第一，在關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃中，對拐彎半徑控制點進行調(diào)整，以減小Delta機器人末端執(zhí)行器抓取和釋放物體的豎直運行階段x軸方向的抖動，但是，增加了水平轉(zhuǎn)運階段y軸方向的抖動；第二，在關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃中，選取的工作空間關(guān)鍵點不對稱。圖（c)、（d)為Delta機器人末端執(zhí)行器抓取和釋放物體的豎直運行階段放大圖，由圖可知，關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法得到的擬合曲線在x軸方向分別有0.6mm、0.8mm的輕微抖動。工作空間軌跡規(guī)劃方法得到的擬合曲線在X、j 軸方向沒有抖動，結(jié)合圖3-12和3-16可知，利用工作空間軌跡規(guī)劃方法得到的工作空間擬合曲線明顯好于利用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法得到的工作空間擬合曲線。

對擬合曲線圖3-11和3-17進行對比，可知關(guān)節(jié)空間內(nèi)軌跡規(guī)劃得到的關(guān)節(jié)空間擬合曲線和工作空間軌跡規(guī)劃得到的關(guān)節(jié)空間擬合曲線速度、加速度峰值相差不大，但由關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線均連續(xù)可導，工作空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線連續(xù) 但不可導。

對擬合曲線圖3-12和3-16進行對比，可知關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的工作空間擬合曲線x軸方向的速度峰值小于工作空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線x軸方向的速度峰值，而軸方向的速度峰值相差不大，即末端執(zhí)行器在中間轉(zhuǎn)運階段速度峰值相差較大，在抓取和釋放物體的豎直運行階段速度峰值相差不大。

對擬合曲線圖3-13和3-18進行對比，可知關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的力矩擬合曲線和工作空間軌跡規(guī)劃得到的力矩擬合曲線峰值相近，但工作空間軌跡規(guī)劃得到擬合曲線的功率峰值明顯大于關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到擬合曲線的功率峰值，尤其是在末端執(zhí)行器的中間轉(zhuǎn)運階段，功率相差較大。

總結(jié)發(fā)現(xiàn)，在末端執(zhí)行器的豎直運行階段，從末端執(zhí)行器水平方向是否抖動、3^由方向速度峰值大小、驅(qū)動電機力矩峰值大小和功率峰值大小等方面考慮，工作空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線明顯好于關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線；在末端執(zhí)行器的中間轉(zhuǎn)運階段，從末端執(zhí)行器x方向的速度峰值大小、驅(qū)動電機力矩峰值大小和功率峰值大小等方面考慮，關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線明顯好于工作空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線。

基于以上Delta機器人的軌跡規(guī)劃結(jié)論，提出了關(guān)節(jié)空間和工作空間相結(jié)合的混合軌跡規(guī)劃方法，在末端執(zhí)行器的豎直運行階段采用工作空間軌跡規(guī)劃法，并進行相應的動力學優(yōu)化；在末端執(zhí)行器的中間轉(zhuǎn)運階段采用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃法，并進行相應的動力學優(yōu)化。

3.6.1工作空間關(guān)鍵點的選取

利用混合軌跡規(guī)劃法對Delta機器人進行軌跡規(guī)劃，也需要在工作空間中選取相應的工作空間關(guān)鍵點，其工作空間關(guān)鍵點如圖3-20所示。其中01、78黑色曲線段為抓取和釋放物體的豎直運行階段，為了避免水平方向的抖動，使用工作空間軌跡規(guī)劃法進行軌跡規(guī)劃；其余藍色曲線段使用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃法進行軌跡規(guī)劃，以提高機器人的控制性能，關(guān)鍵點2、6為拐彎半徑控制點。

3.6.2混合軌跡規(guī)劃五次樣條函數(shù)模型

混合軌跡規(guī)劃五次樣條函數(shù)模型是關(guān)節(jié)空間和工作空間軌跡規(guī)劃相結(jié)合的數(shù)學模型，工作空間軌跡規(guī)劃曲線段01、78段使用工作空間軌跡規(guī)劃數(shù)學模型，如公式（3- 3)、（3-4)、（3-5)所示；其余關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃曲線段使用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃數(shù)學模型，如公式（3-6)至（3-11)所示。值得注意的是，選取的工作空間關(guān)鍵點1、7是工作空間軌跡規(guī)劃法和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃法的銜接關(guān)鍵點，該關(guān)鍵點的位移是確定值，速度、加速度需要人為給定，關(guān)鍵點處的速度和加速度選擇是否合理關(guān)系到該點兩側(cè)速度變化曲率和加速度變化數(shù)值大小，這里僅以關(guān)節(jié)空間左驅(qū)動電機擬合曲線為例進行說明。

當速度選擇不合理時，該關(guān)鍵點（0.2s附近，藍、紅色曲線銜接處）成為速度擬合曲線的尖點（曲線上明顯突出的點），并且該關(guān)鍵點附近加速度很大，如圖3-21、3-22所示，分別為關(guān)鍵點處速度選擇較小、較大時關(guān)節(jié)空間左驅(qū)動電機速度、加速度擬合曲線。

當加速度選擇不合理時，該關(guān)鍵點成為速度曲線的曲率變化關(guān)鍵點，并且該關(guān)鍵點處的加速度出現(xiàn)尖點，如圖3-23、3-24所示，分別為關(guān)鍵點處加速度選擇較小、較大時的關(guān)節(jié)空間左驅(qū)動電機速度、加速度擬合曲線。

當關(guān)鍵點處的速度、加速度選擇不合理時，還會出現(xiàn)工作空間位移擬合曲線過沖, 速度擬合曲線抖動較大，加速度擬合曲線峰值較大，所需驅(qū)動電機力矩峰值和功率峰值急劇增加的現(xiàn)象，這里不再贅述。

3.6.3動力學軌跡優(yōu)化模型

混合軌跡規(guī)劃的動力學優(yōu)化模型，結(jié)合了工作空間軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的動力學優(yōu)化模型，在工作空間軌跡規(guī)劃曲線段01、78段使用工作空間動力學軌跡優(yōu)化數(shù)學模型，如公式（3-15)、（3-16)、（3-17)所示；其余關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃曲線段使用關(guān) 節(jié)空間動力學軌跡優(yōu)化數(shù)學模型，如公式（3-12)、（3-13)、（3-14)所示。

Delta機器人混合空間軌跡規(guī)劃流程如圖3-25所示，其中判斷1為選取的工作空間關(guān)鍵點處速度、加速度是否合理，即關(guān)節(jié)空間中擬合曲線，位移是否過沖，速度是否為尖點，加速度是否很大或者為尖點，以及所需驅(qū)動電機力矩峰值和功率峰值是否較大。判斷2、3與工作空間軌跡規(guī)劃流程圖3-15中判斷1、2相同；判斷4、5與關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃流程圖3-10中判斷1、2相同。

3.6.4軌跡規(guī)劃曲線分析

根據(jù)Delta機器人關(guān)節(jié)空間和工作空間的混合軌跡規(guī)劃五次樣條函數(shù)模型及其動力學優(yōu)化模型，編寫機器人的Python語言混合空間軌跡規(guī)劃程序，得到的擬合曲線如圖3- 26, 3-27, 3-28所示，其中，左右紅色、綠色曲線為關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線，左右藍色、黑色曲線為工作空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線。

圖3-26為混和軌跡規(guī)劃法得到的關(guān)節(jié)空間左右驅(qū)動關(guān)節(jié)運動學擬合曲線，由上至下分別表示驅(qū)動關(guān)節(jié)角位移、速度、加速度，由圖可以看出，關(guān)節(jié)空間內(nèi)的位移、速度擬合曲線均連續(xù)可導，加速度擬合曲線連續(xù)但不可導。左右驅(qū)動關(guān)節(jié)速度大小均小于8 rad/s,加速度峰值大小分別小于200rad/?、150rad//。

圖3-27為混合軌跡規(guī)劃法得到的工作空間內(nèi)末端執(zhí)行器x軸方向和y軸方向擬合曲線，由上至下分別表示末端執(zhí)行器的位移、速度、加速度擬合曲線，由圖可以看出，利用以上混合軌跡規(guī)劃五次樣條函數(shù)模型及其動力學優(yōu)化模型，得到的工作空間內(nèi)末端執(zhí)行器的位移、速度擬合曲線均連續(xù)可導，加速度擬合曲線連續(xù)但不可導，擬合曲線x 軸方向和y軸方向速度峰值大小約為3m/s，加速度峰值大小為60m//，得到的工作空間內(nèi)的x、y軸方向速度、加速度擬合曲線的峰值相差較小。

圖3-27末端執(zhí)行器擬合曲線

圖3-28為混合軌跡規(guī)劃法動力學優(yōu)化后得到的關(guān)節(jié)空間內(nèi)驅(qū)動電機力矩和功率擬合曲線，由圖可知，左右驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩擬合曲線和功率擬合曲線均連續(xù)但不可導，左驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩擬合曲線大小小于80，m,右驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩擬合曲線大小小于等于90，m, 左右關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩有一■定差距；同樣，左右驅(qū)動電機的功率擬合曲線為取絕對值后的擬合曲線，左驅(qū)動關(guān)節(jié)功率擬合曲線大小小于400vv,右驅(qū)動關(guān)節(jié)功率擬合曲線大小小于 550vv,左右關(guān)節(jié)驅(qū)動功率大小相差較大。

圖3-29為混合空間軌跡規(guī)劃法得到的工作空間擬合曲線圖，圖（a)為工作空間內(nèi) 的整體位移曲線圖，圖（b)為末端執(zhí)行器水平轉(zhuǎn)運階段位移曲線放大圖，由圖可知，利用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法得到的擬合曲線在水平轉(zhuǎn)運階段y軸方向的抖動大約為 0.9mm,較純關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃抖動有較大改善，圖（c)、（d)為Delta機器人末端執(zhí)行器抓取和釋放物體的豎直運行階段放大圖，由圖可知，混合空間軌跡規(guī)劃方法得到的擬合曲線在x軸方向沒有抖動。基于以上Delta機器人的混合軌跡規(guī)劃五次樣條函數(shù)模型及其動力學優(yōu)化模型得到的擬合曲線，以及混合軌跡規(guī)劃工作空間內(nèi)擬合曲線，在末端執(zhí)行器豎直抓取和釋放物體01、78段，將末端執(zhí)行器水平x軸方向是否抖動作為主要衡量指標，將末端執(zhí)行器y軸方向速度極值大小，關(guān)節(jié)空間速度、加速度大小，驅(qū)動電機力矩峰值大小和功率峰值大小等作為次要衡量指標，可知混合軌跡規(guī)劃法得到的工作空間內(nèi)末端執(zhí)行器豎直階段擬合曲線明顯好于關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃法得到的擬合曲線，這將十分有利于提高Delta機器人抓取和釋放物體階段的穩(wěn)定性；在末端執(zhí)行器的中間轉(zhuǎn) 運階段，將末端執(zhí)行器x軸方向速度峰值大小，關(guān)節(jié)空間速度、加速度大小，驅(qū)動電機力矩峰值大小和功率峰值大小等作為主要衡量指標，將末端執(zhí)行器豎直y軸方向是否抖動作為次要衡量指標，可知混合軌跡規(guī)劃法得到的關(guān)節(jié)空間內(nèi)驅(qū)動關(guān)節(jié)中間轉(zhuǎn)運階段擬合曲線明顯好于工作空間軌跡規(guī)劃法得到的擬合曲線，這將十分有利于提高Delta機器人的實際控制性能，同時降低所需驅(qū)動電機的功率，具有很強的實用價值。

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